Search results
Indukcja matematyczna (indukcja zupełna) jest to metoda dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych. Niech T (n) oznacza formę zdaniową zmiennej n, określoną w dziedzinie liczb naturalnych. W zależności od wartości n forma zdaniowa może być prawdziwa lub fałszywa.
- Liczby naturalne
Dowolny ułamek (na przykład \(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\)...
- Liczby naturalne
Stosując zasadę indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej prawdziwy jest wzór: $$1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\frac{n^2(1+n)^2}{4}=(1+2+3+\ldots+n)^2$$
Dowód przeprowadzony metodą indukcji matematycznej nazywamy dowodem indukcyjnym; składa się on z dwóch etapów: 1. sprawdzenia, że T (n0) jest prawdziwe, 2. dowodu, że dla każdego nn0 jeżeli T (n) jest prawdziwe, to T (n + 1) jest prawdziwe.
Indukcja matematyczna - to metoda dowodzenia twierdzeń (najczęściej równań i nierówności), które są prawdziwe dla nieskończonej liczby przypadków (najczęściej dla nieskończenie wielu liczb naturalnych).
Krok poczatk˛ owy. Dla k = 1powy˙zsza równo s´´c sprowadza sie˛ do: 1 = 1 (1+1) 2, co jest oczywi´scie prawda.˛ Krok nastepnik˛ owy. Czynimy załozenie indukcyjne,˙ ˙ze omawiany wzór zacho-dzi dla liczby k, czyli zakładamy, ze:˙ 1+2+3+:::+k = k (k +1) 2: Musimy wykazac,´ ˙ze badany wzór zachodzi tak ze dla˙ k + 1, czyli musimy ...
Na mocy zasady indukcji prawdziwe jest zdanie W (n) dla n(n+1) każdego n ∈ N. Stąd równość 1 + 2 + 3 + . . . + n = zachodzi dla każdej liczby naturalnej. 2 n. Przykład 2. Pokazać, że 6 | 13n − 7 dla każdego n ∈ N. Rozważmy zbiór. A = {n ∈ N : 6 | 13n − 7}.
13 wrz 2010 · Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność 3n > n3 jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych n ≥ 4 n ≥ 4. Ponadto z bezpośredniego sprawdzenia wynika, że ta nierówność jest spełniona również dla n = 1 i n = 2, natomiast nie zachodzi dla n = 3.
