Search results
Definicja 2.1. Cia,g (zn) = (xn+iyn) jest zbieżny do granicy (właściwej) z0 = x0 + iy0, co oznaczamy lim n→∞ zn= z0, jeśli ∀(ε>0)∃(N>0)∀(n>N) |zn−z0 |= q (xn−x0)2 + (yn−y0)2 <ε. Geometrycznie oznacza to, że w kole o środku w punkcie z0 i promieniu ε>0 (dowolnie małym) leża,prawie wszystkie wyrazy cia,gu (zn). (Prawie
Funkcja F(z) która nie spełnia warunków C-R w otoczeniu punktu z0, a więc nie jest w tym punkcie analityczna, mówimy że ma w punkcie z0 osobliwość. Warunki C-R są spełnione na całej płaszczyźnie zespolonej z wyjątkiem punktu z0 = 0, a więc funkcja F(z) = 1/z ma osobliwość w tym punkcie.
Niech z = x+iy ̸= 0. Wówczas z = |z| x |z| +i y |z| . Ponieważ x |z| 2 + y |z| 2 = 1, więc istnieje kąt φ taki, że z = |z|(cosφ+isinφ). Dowolny taki kąt nazywamy argumentem liczby z. Ten z argumentów liczby zespolonej, który leży w przedziale [0,2π), nazywamy argumentem głównym liczby z i oznaczamy argz.
wzoru (2.6), formuła zk = z0 (cos 2ˇ n +isin 2ˇ n)k (2.7) = zk 1 (cos 2ˇ n +isin 2ˇ n); k = 1;:::;n (2.8) w której z0 jest jednym z rozwiązań równania (2.5). Wynika z niej, że liczba ze-spolona (wektor płaszczyzny zespolonej) z1 powstaje w wyniku obrotu z0 o kąt 2ˇ n; podobnie z2 to wynik obrotu z1 o ten sam kąt. Ogólnie, zk+1 ...
Jeżeli zapiszemy argument z= x+ iy, x,y∈R oraz f(x+ iy) = u(x,y) + iv(x,y) , gdzie u,v: D→R , D⊂R2 to jednej funkcji zespolonej jednego argumentu zespolonego odpo-wiadają dwie funkcje rzeczywiste dwóch zmiennych rzeczywistych. Uwaga: W sposób naturalny utożsamiamy zbiór C z R2. Przykład: Funkcja f(z) = z2. z= x+ iy, x,y∈R f(z ...
∂2u ∂x2 i (x0) ‹0, i= 1,···,n. W szczególności wynika stąd, że ∆u(x0) ‹0, co jest sprzeczne z założeniem, że f(x0)>0 .Zatem x0 ∈∂Ω . Przypuśćmyteraz,że f›0 .Dla k∈N rozważmyfunkcję v k: Ω →R danąwzoremv k(x) = u(x)+ kxk2 k.Oczywiście lim k→∞ v k = u wzbiorze Ω oraz ∆v k = ∆u+ 2n k › 2n k >0 w Ω. 3
Kanoniczna postać liczby zespolonej: z= x+ iy. Liczba z= xzwie się liczbą (czysto) rzeczywistą, liczba z= iyzwie się liczbą (czysto) urojoną. Oczywiście i2 = −1. Części rzeczywista i urojona liczby zespolonej z = x+ iy: Rez = x, Imz = y(uwaga: część urojonaliczby zespolonej zjest liczbą rzeczywistą!). Moduł|z|liczby zespolonej ...
