Search results
Definicja 2.1. Cia,g (zn) = (xn+iyn) jest zbieżny do granicy (właściwej) z0 = x0 + iy0, co oznaczamy lim n→∞ zn= z0, jeśli ∀(ε>0)∃(N>0)∀(n>N) |zn−z0 |= q (xn−x0)2 + (yn−y0)2 <ε. Geometrycznie oznacza to, że w kole o środku w punkcie z0 i promieniu ε>0 (dowolnie małym) leża,prawie wszystkie wyrazy cia,gu (zn). (Prawie
Jeżeli zapiszemy argument z= x+ iy, x,y∈R oraz f(x+ iy) = u(x,y) + iv(x,y) , gdzie u,v: D→R , D⊂R2 to jednej funkcji zespolonej jednego argumentu zespolonego odpo-wiadają dwie funkcje rzeczywiste dwóch zmiennych rzeczywistych. Uwaga: W sposób naturalny utożsamiamy zbiór C z R2. Przykład: Funkcja f(z) = z2. z= x+ iy, x,y∈R f(z ...
Niech z = x+iy ̸= 0. Wówczas z = |z| x |z| +i y |z| . Ponieważ x |z| 2 + y |z| 2 = 1, więc istnieje kąt φ taki, że z = |z|(cosφ+isinφ). Dowolny taki kąt nazywamy argumentem liczby z. Ten z argumentów liczby zespolonej, który leży w przedziale [0,2π), nazywamy argumentem głównym liczby z i oznaczamy argz.
Xn j=1 n k=1 z j z k = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Xn k=1 z k= 0. Postać trygonometryczna liczby zespolonej 1. Zapisz liczby zespolone w postaci trygonometrycznej: (a) i, (b) 2 + 2i, (c) −1 + √ 3i, (d) 3+2i −2+3i, (e) (√ 3+1)+(√ 3−1)i, (f) 2+ √ 3+i. 2. Niech z= r·cisαi n,m∈Z. Wyznacz postać trygonometryczną liczby zm·zn. 3 ...
Sprzężeniem liczby zespolonej z= x+ iynazywamy liczbę z= x−iy. Własności: | z= z(sprzężenie jest inwolutywne) | z+ w= z+ w(sprzężenie jest addytywne) | zw= zw(sprzężenie jest multiplikatywne) Moduł Funkcja |·|: C →[0,∞) dana wzorem |z|= |x+ iy|= p x2 + y2 nazywana jest modułem liczby zespolonej. Własności: | zz= |z|2 | |zw ...
wzoru (2.6), formuła zk = z0 (cos 2ˇ n +isin 2ˇ n)k (2.7) = zk 1 (cos 2ˇ n +isin 2ˇ n); k = 1;:::;n (2.8) w której z0 jest jednym z rozwiązań równania (2.5). Wynika z niej, że liczba ze-spolona (wektor płaszczyzny zespolonej) z1 powstaje w wyniku obrotu z0 o kąt 2ˇ n; podobnie z2 to wynik obrotu z1 o ten sam kąt. Ogólnie, zk+1 ...
Rozważamy funkcję F(z) analityczną we wszystkich punktach obszaru R oraz punkt z0 i kontur C w postaci okręgu o środku w z0. Reprezentacja całkowa. Rozwinięcie MacLaurina (wokół z0 = 0): X F(n)(0) zn n! Uwaga: szereg Taylora jest zbieżny w kole o promieniu |z1 − z0|, gdzie z1 jest najbliższą osobliwością funkcji F(z). n! = = n!
