Search results
przy czym drugi z powyższych wzorów na całkowanie przez części jest skróconym zapisem pierwszego - pamiętamy czemu jest równa różniczka funkcji \(dv = v'(x)dx\) oraz \(du = u'(x)dx\). Obliczymy teraz \(\int x \sin x dx\). Wybór \(u\) i \(dv\) jest dowolny. My wybierzemy \(u = x\) i stąd \(dv = \sin x dx\).
Zastosowanie podstawienia sin x = t, niż tylko korzystanie z wzorów rekurencyjnych, prowadzi do prostszego rozwiązania powyższej całki.
Oznaczmy u = sin x, v = cos x. Jeśli funkcja R jest dowolna to stosujemy podstawienie uniwersalne (tzw. tangens połówkowy) t = tg x 2, d x = 2 d t 1 + t 2, sin x = 2 t 1 + t 2, cos x = 1 − t 2 1 + t 2. Jeśli R (u, v) = R (− u, − v) (tzn. funkcje sin x i cos x są w parzystych potęgach), to stosujemy podstawienie tangensowe . t = tg x ...
The sin 2x formula is the double angle identity used for the sine function in trigonometry. It is sin 2x = 2sinxcosx and sin 2x = (2tan x) /(1 + tan^2x). On the other hand, sin^2x identities are sin^2x - 1- cos^2x and sin^2x = (1 - cos 2x)/2.
Przykład: Obliczyć całkę: cos2 (2 x) sin (x) dx. cos (4 x) dx + sin (- 3 x) dx + sin (7 x) dx. Pozostałe całki liczymy już bezpośrednio stosując oczywiste podstawienia u = 4 x, v = - 3 x i t = 7 x dla każdej z nich. Czasem zamiast redukować wyrażenia postaci sin (Ax) cos (Ax), można pójść krótszą drogą:
Pochodną funkcji można obliczyć z definicji, jednak często jest to żmudne zadanie. Dlatego zazwyczaj obliczamy pochodną funkcji, wykorzystując twierdzenie o pochodnej operacji algebraicznych i twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej oraz powyższe wzory na pochodne podstawowych funkcji.
POCHODNE. Oblicz pochodną funkcji: p. f(x) = 3 x 2; (e) f(x) = x arc tg x; p 2x3 3x+ (b) f(x) = x 1 ; x. (f) f(x) = x3 ln x; (c) 2 f(x) = 3p x2. p. 3 x; 1 (g) f(x) = 2x2 sin x log x; (d) f(x) = 7x sin x; (h) f(x) = 1 log2 x; (i) f(x) = 1+cosx; sinx. 3p. (m) f(x) = 3p x. 1 x; (j) f(x) = 5x2+x 2 ; x2+7. arccosx (n) f(x) = ; x. (k) f(x) = cosx ; ex.
